Определение нормальных напряжений в поперечных сечениях
балок с гофрированной стенкой
ассистент Лукин А.О.
При расчете балок с гофрированной стенкой принято считать, что полки воспринимают нормальные напряжения, а стенка – касательные [1, 2]. Но реальная работа гофрированных балок отличается от таких предположений [3]. Участки стенки, примыкающие к поясам, воспринимают нормальные напряжения, которые возникают от изгиба. Для гофров треугольного очертания [4] экспериментально-теоретическим путем выявлено влияние параметров гофров (длины и высоты волны) на степень участия гофрированной стенки в восприятии изгибающего момента. Решения о распределении напряжений в стенке для других видов гофров отсутствуют.
Новый подход к расчету балок с гофрированной стенкой можно сформулировать, если представить ее в виде трехслойной конструкции. Основное предположение при расчете трехслойных конструкций заключается в том, что изменение модуля упругости среднего слоя по высоте сечения описывается математической зависимости, например, экспоненциальной [5] или степенной [6]. Такое допущение для балки с гофрированной стенкой позволит получить аналитическое решение для распределения напряжений в поперечном сечении.
В данной работе предложена методика для определения нормальных напряжений в поперечных сечениях балок с гофрированной стенкой при изгибе со сжатием.
а
б
Рис. 1. – К расчету балки с гофрированной стенкой
а – расчетная схема; б – поперечное сечение
В основу методики приняты следующие положения:
- справедлива гипотеза плоских сечений;
- элементы балки претерпевают сдвиг;
- при работе материалов возникает линейная зависимость между деформациями и напряжениями.
Для определения напряженного состояния балки гофрированная стенка заменяется на плоскую ортотропную пластинку такой же толщины, но с приведенными упругими характеристиками. Упругие постоянные для плоской ортотропной пластинки, которые зависят от вида и размеров гофра, определяются путем сравнения деформации гофрированной и плоской пластинки при одних и тех же нагрузках.
Волнистый
s = a·k
Треугольный
s = a1
;
Трапецеидальный
s = a1 + a3
Рис. 2. – Профиль гофрированной стенки
Приведенный модуль сдвига примем по [7]:
, (1)
где G– модуль сдвига для изотропного материала; а – длина полуволны; s – длина дуги или панели полуволны (рис. 2).
Приведенный модуль упругости примем из работы Андреевой Л.Е. [8]:
(2)
где E– модуль упругости для изотропного материала; k1 – коэффициент анизотропии, который зависит от профиля гофра, длины и высоты волны, толщины стенки:
- для трапецеидальных гофров: ; (2а)
- для треугольных гофров значение k1 определяется по формуле (2а) при a3 = 0;
- для синусоидальных гофров:
- пологий профиль (): ; (2б)
- произвольный профиль:
, (2в)
где F0 и E0 – полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.
, , , .
Полные эллиптические интегралы можно представить в виде степенных рядов:
; .
Для практических расчетов достаточно принять m = 5.
Рис. 3. – Изменение модуля упругости по высоте стенки в зависимости от параметра n
Рис. 4. – Деформация поперечного сечения с учетом сдвига
Известно, что нормальные напряжения быстро падают от полки к оси балки. По мере удаления от пояса к оси балки защемляющее влияние поясов на работу гофрированной стенки уменьшается и на некотором расстоянии становится пренебрежимо мало. Поэтому будем считать, что приведенный модуль упругости в стенке по высоте сечения описывается степенной функцией. Тогда для всего сечения можно записать:
(3)
где z – координата по высоте сечения; – коэффициент, учитывающий защемляющее влияние полки на работу стенки (рис. 3); - коэффициент податливости [9]; Sx.f2 – статический момент пояса относительно оси балки.
Продольные и поперечные перемещения всех точек сечения определяются зависимостью (рис. 4)
(4)
где u1(x) – продольное перемещение от осевой силы; γ - угол сдвига сечения от действия поперечных сил; w1(x) – прогиб балки с учетом изгибных и сдвиговых деформаций.
Тогда нормальные напряжения с учетом (5) определяются следующим образом
(7)
Усилия в поперечном сечении определяются суммированием напряжений на элементарных площадках
(8)
Подставляя значения напряжения из (7) в (8), получим
(9)
где A0, B0, D0 - упруго-геометрические характеристики сечения.
Для двутавровой балки упруго-геометрические характеристики будут иметь вид:
- жесткость при растяжении
- упруго-статический момент сечения
- жесткость при изгибе относительно оси y (рис. 1)
Запишем уравнения (9) в матричном виде
(10)
Из матрицы (10) найдем значения производных
(11)
где .
Тогда из (12) производные перемещений будут определяться
(12)
Подставляя (12) в (6) и используя (3), найдем нормальные напряжения в произвольной точке несимметричного перечного сечения
(13)
При N= 0 и при симметричном сечении (B0 = 0)
(14)
Пример.
Для применения полученной формулы рассмотрим шарнирно опертую балку по двум сторонам (рис. 1). Балка находится под действие постоянной равномерно распределенной нагрузки q=100 кН/м. Профиль гофра – синусоидальный. Модуль упругости стали E = 2,06·104 кН/см2, модуль сдвига G = 0,8·104 кН/см2. В примере рассматриваются две балки с различными параметрами гофров (табл. 3).
Табл. 3. Параметры гофрированных балок
№
Пролет
L, м
hw,
мм
tw,
мм
bf1= b f2,
мм
t f1= t f2,
мм
a,
мм
f,
мм
k1
Eгоф.х
кН/см2
Gгоф
кН/см2
Эскиз гофра
БГС-1
9
750
2,5
200
12
77,5
20
414,2
49,7
6871
41,9
БГС-2
6
500
8
200
12
150
5
3,34
6160
7978
4,83
Для проверки надежности полученных результатов по (14) были выполнены расчеты этих же балок по общеизвестной методике, представленной в [1, 2], и методом конечных элементов (МКЭ) в программном комплексе «Лира». Моделирование балок и принятая сетка конечных элементов описано в [11].
Табл. 4. Сравнение результатов значений напряжений.
Параметры
Методика
Автора
ф. (15)
Методика
[1,2]
МКЭ
Нормальные напряжения в крайнем волокне балки (x=L/4), кН/см2
41,81
24,43
41,52
27,46
41,8
24,1
0,69
12,4
0,02
1,4
Примечание: значения над чертой для балок БГС-1, под чертой для балок БГС-2: i – соответствующий параметр сравнения.
Результаты расчета показывают (табл. 4), что предложенная методика достоверно отражает работу балки с гофрированной стенкой. Максимальная разница в сравнении с результатами по МКЭ составляет 1,4%. Эпюры напряжений представлены на рис. 5. Сравнивая результаты, полученные по предложенному методу и общепринятым формулам, видно, что при пологих гофрах погрешность в расчетах составляет 12,4%.
а
б
Рис. 5. – Эпюры напряжений при x=L/4:
а – нормальные напряжения в балке БГС-1; б – нормальные напряжения в балке БГС-2
Для проверки применимости предложенного метода дополнительно было рассчитано 15 балок с различным соотношением параметров гофрирования. Отклонения вычисленных значений по предложенной методике от результатов МКЭ для нормальных напряжений в крайнем волокне балки составляет 0,5-2%.
Выводы.
1. Дано аналитическое решение для распределения напряжений в поперечном сечении балок с гофрированной стенкой.
2. Предложенная методика с высокой точностью позволяет определять нормальные напряжения в балке с гофрированной стенкой при различных параметрах гофров.
Литература
1. Бирюлев В.В. Проектирование металлических конструкций: Специальный курс [Текст] / В.В, Бирюлев, И.И. Кошин, И.И. Крылов, А.В. Сильвестров, под ред. В.В. Бирюлева. – Л.: Стройиздат, 1990. – 432 с.
2. EN 1993-1-5: 2006. Eurocode 3: Design of steel structures. Part 1-5: General rules - Plated structural elements.
3. Соловьев А.В. Анализ эффективности применения двутавровго элемента с гофрированной стенкой при работе в сложном напряженно-деформированном состоянии [Текст] / А.В. Соловьев, А.О. Лукин, В.Ю. Алпатов // Промышленное и гражданское строительство. – 2010. – № 6. – С. 27-30.
4. Остриков Г.М. Исследование несущей способности стальных двутавровых балок с вертикально гофрированной стенкой [Текст] / Г.М. Остриков, Ю.С. Максимов, В.В. Долинский // Строительная механика и расчет сооружений. – 1983. – № 1. – С. 68-70.
5. Venkataraman S., Sankar B. V. Elasticity Solution for Stresses in a Sandwich Beam with Functionally Graded Core // AIAA Journal, VOL. 41, NO. 12: pp. 2501-2505.
6. Simsek M. Static analysis of a functionally graded beam under a uniform distributed load by Ritz method // International Journal of Engineering and Applied Sciences (IJEAS). Vol.1, Issue (2009) pp. 1-11.
7. Лукин А.О. Определение прогибов балок с гофрированной стенкой с учетом сдвиговых деформаций / А.О. Лукин // Инженерный Вестник Дона: электронный журнал. №1. 2013. ISSN 2073-8633. URL: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1496.
Прочитать публикацию в формате PDF
; 
, (1)
(2)
; (2а)
): 
; (2б)
, (2в)
, 
, 
, 
.
; 
.
(3)
– коэффициент, учитывающий защемляющее влияние полки на работу стенки (рис. 3); 
- коэффициент податливости [9]; Sx.f2 – статический момент пояса относительно оси балки. 
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
.
(12)
(13)
(14)
