Прочитать публикацию в формате PDF 231 Кб Для чтения PDF необходима программа Adobe Reader

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ

В НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЦВЕТНЫХ РИСУНКОВ

Вертинская Н.Д.

Иркутский государственный технический университет

Две ортогональные проекции геометрической фигуры определяют ее положение в пространстве. Однако произвольное положение такой геометри-ческой фигуры относительно плоскостей проекций не всегда удобно для решения ряда позиционных и метрических задач.

На плакате 1 видно, что если плоскость тре-угольника АВС общего положения, то проекция треугольника АВС по форме и размерам отличается от его проекций.

Далее приведем примеры:

1) Если требуется определить форму и разме-ры плоской фигуры необходимо, чтобы она была параллельна плоскости проекций. В этом случае ее проекция конгруэнтна самой фигуре (плакат 2).

Форма и размеры проекций, при ортогона-льном проецировании, всецело зависят от взаи-много расположения проецируемой фигуры и плоскости проекций (плакат 3).

При этом, объект проецирования может за-нимать, по отношению к плоскости проекций, «удобное» и «неудобное» положение. В случае «удобного» расположения получаются проекции, обеспечивающие простое решение.

«Удобным» (выгодным) положением проецируемой фигуры считаются:

1) параллельное плоскости проекций;

2) перпендикулярное плоскости проекций.

Естественно возникает вопрос, как можно перейти от заданных «неудоб-ных» для решения задач проекций к новым более «удобным» проекциям?

Переход от общего, по отношению к плоскости проекций, положения геомет-рической фигуры к частному, при ортогональном проецировании, в частности,

можно осуществить двумя путями:

во - первых, заменой плоскости проекций новой плоскостью, по отноше-нию к которой проецируемая фигура, которая не меняет своего положения в

пространстве, окажется в частном положении;

во - вторых, перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, что-бы она заняла частное положение относительно плоскости проекций, которая не меняет положения в пространстве.

Первый путь лежит в основе способа замены плоскостей проекций;

второй - способа плоскопараллельного перемещения и вращения.

Для использования способа замены плоскостей проекций при решении задач необходимо помнить:

1) если плоскость П₂ заменена плоскос-тью`П<sub>2</sub>, то плоскость`П₂ (как и плоскость, которую она заменила), должна быть перпен-дикулярна плоскости П₁;

2) при замене фронтальной плоскости плоскость П₂, положение горизонтальной плоскости проекций остаётся без измене-ний, что обеспечивает неизменность вида горизонтальной проекции;

3) при переходе от пространственной модели к комплексному чертежу, но- вая фронтальная плоскость`П₂ совмещается со старой горизонтальной плоскос-тью П₁;

4) линия связи, соединяющие новую фронтальную проекцию со старой го-ризонтальной проекцией, перпендикулярна к новой оси х_1`2;

5) расстояние между новой фронтальной проекцией точки `А₂ и новой

2

осью х_1`2 равно расстоянию между старой фронтальной проекцией точки А₂ и старой осью x₁₂ (рис.1).

½А₂А_х12½=½`А<sub>2</sub> `А_х1`2½.

Задача 1. Отрезок [АВ], задающий прямую общего положения, преобразовать в отрезок [`А`В], определяющий прямую, параллельную фронтальной плоскости проекций. Иными слова-

ми сделать отрезок [АВ] фронталью (рис. 2).

Поэтому выбираем новую ось параллельную го-

ризонтальной проекции отрезка [АВ], т.е.

х_1`2½½[А₁В₁], а новую фронтальную проекцию

`А<sub>`2</sub>`В<sub>`2</sub> строим по тем же размерам, что и дан-

ная фронтальная проекция.

В начале [CD] сделаем фронталью, а затем, выбрав новую ось ось х_`1`2^ [`C<sub>1</sub>`D₁], cделаем

[`C`D] горизонтально проецирующим.

Задач 3. Плоскость общего положения a, за-данную следами с помощью способа замены пло-скостей проекций, преобразовать в горизонтально проецирующую плоскость (рис. 4).

Способ плоскопараллельного перемещения

В отличие от способа замены плоскостей проекций, которым данная фигура преобразовывается в фигуру частного положения путем изменения системы отне-сения, способом плоскопараллельного движения фи-гура приводится в частное положение в результате ее перемещения в простран-стве относительно неподвижной системы отнесения. В этом способе преобразо-

3

вания справедлива теорема: при плоскопараллельном движении фигуры

одна ее проекция перемещается по прямым параллельным оси Ох, а другая проекция остается конгруэнтной самой себе.

Задача1. Преобразовать отрезок [АВ] общего положения во фронталь (рис. 5).

Так как отрезок [АВ] должен стать фронталью, то его горизонтальная проекция [А₁В₁] параллельна оси Ох. При этом согласно сформулированной теорем отрезки [АВ] и [А₁В₁] должны быть конгруэнтны. Фронтальные проек-ции А₂ и В₂ перемещаются параллельно оси Ох.

Задача 3.Найти нату-ральную величину тре-угольника АВС общего положения (рис. 6).

Очевидно, одним

плоскопараллельным движением плоскость общего положения нельзя преоб-разовать в плоскость уровня. Выполним последовательно два плоскопараллель-ных перемещения треугольника АВС:

сначала относительно, например, фронтальной плоскости проекций, а затем относительно горизонтальной плоскости П₁. При первом плоскопараллель- ном движении плоскость треугольника АВС преобразуем в проецирующую плоскость. Для этого фронтальную проекцию `А<sub>2</sub>`В₂`С<sub>2</sub> расположим так, чтобы фронталь `f (`f<sub>1</sub>,`f₂) стала горизонтально проецирующей. При этом согласно сформулированной теореме фронтальные проекции треугольников –АВС и `А`В`С должны быть конгруэнтными (рис. 6).Вторым плоскопаралле-льным движением относительно П₁ треугольник ^--А ^–В ^–С преобразуем в треу-гольник ⁼А⁼В⁼С, рас- положенного в горизонтальнойплоскости уровня. При

этом отрезки [`В<sub>1</sub> `С₁], [ ⁼В₁ ⁼С₁] конгруэнтны и последний расположен парал-

4

лельно оси Ох. Поэтому фронтальная проекция треугольника ⁼А₂⁼В₂⁼С₂ определяет натуральную величину треугольника АВС.

Сущность этого способа состоит в том, что перемещение геометричес-кой фигуры в новое положение осуществляется путём её вращения вокруг какой-либо прямой. Траектория перемещения всех точек фигуры представляют дуги окружностей, центры которых принадлежат одной прямой - оси вращения.

В зависимости от положения оси, по отношению к плоскости проекций, способы вращения подразделяют:

1) способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций;

2) способ вращения вокруг оси параллельной плоскости проекций. Этот способ называют также способом вращения вокруг линии уровня.

Рассмотрите каждый из отмеченных способов.

1) Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций

Пользуясь плакатом 8 рассмотрим способ вращения вокруг проецирующей

5

Задача 4. Перевести отрезок АВ в положение параллельное фронтальной плоскости проекций

(рис. 8).

Вначале сделаем горизонтальную проекцию отрезка [A_1B1] горизонтальной проекцией фрон-тали, т. е. [A₁ B^’₁] II Ох, а затем построим фронтальную проекцию отрезка АВ’- А₂В’₂.

2) Вращение вокруг оси, параллельной плоскости проекций

Смысл способа вращения вокруг оси, парал-лельной плоскости проекций (вращения вокруг горизонтали и фронтали) состоит в переводе плоскости, произвольно расположенной отно-сительно плоскостей проекций в положение параллельное горизонтальной или фронтальной плоскости проекции (плакат 9).

Т.к. вращение плоскости осуществляется во-круг прямой, принадлежащей плоскости, то для перевода её в новое положение достаточно осу-ществить поворот только одной точки плоскос-ти не принадлежащей оси вращения.

И так, мы установили, что перевод плоскости из исходного положения в новое путём её враще-ния вокруг линии уровня, сводится к нахождению

нового положения одной точки, принадлежащей плоскости и не лежащей на оси вращения.

Для решения этой задачи необходимо и достаточно:

6

во-вторых, найти величину радиуса вращения.

Задача 6. Определить натуральную вели-чину треугольника АВС вращением вокруг его горизонтали.

Решение задачи начнем с построения горизонтали.

Заранее определим какую то-чку будем вращать вокруг горизо-нтали, пусть этой точкой будет точка В.

Далее применяя алгоритм решения задачи для поворота точки В вокруг горизонтали. Для определения повернутого положе-ния точки С нет необходимости повторять все построения снова, т.к. точка С^’₁ лежит на отрезке В’₁ С’₁, проходящем через неподвиж-ную точку 1 горизонтали, то доста-точно из точки С₁ провести перпендикуляр к h₁ до пересечения с лучом [B^’₁1₁) (рис. 11).

7

Кривые линии и обводы

Линия занимает особое положение среди геометрических фигур в курсе начертательной геометрии. Используя линию можно создать наглядные модели

многих процессов и проследить их течение во времени.

Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависи-мость между величинами. С помощью линий удаётся решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводят к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата. Умело, подбирая линии, дизайнер имеет возможность придать изящные и эстетичные формы конструируемым изделиям. Кроме самостоятельного значения, линии широко используются при конструировании поверхностей различных техниче-ских форм.

Линию можно рассматривать как траекторию перемещения точки в про-странстве. Такое представление линии позволяет дать определение линии как непрерывное множество всех принадлежащих ей точек. Если учесть, что поло-жение точки при её движении по заданной траектории будет зависить от неп-рерывно меняющейся величины d - расстояния от точки до начала координат,

то можно утверждать что положение точки, принадлежащей линии, определя-ется непрерывно меняющейся величиной d. Тогда, приняв d за параметр, при-ходим к следующему определению: линия есть непрерывное однопараметри-ческое множество точек.

Далее рассмотрим классификацию линий. Линии подразделяются на алгебраические, если в декартовой системе координат они определяются алгебраическим уравнением, и трансцендентные в том случае, когда описываются трансцендентными уравнениями.

Линии бывают пространственными и плоскими. Пространственными или линиями двоякой кривизны называют линии, все точки которых не принадле-

жат одной плоскости (рис. 12). Линии, у которых все точки принадлежат од-ной плоскости, называются плоскими.

Если алгебраическое уравнение, описывающее линию n-ой степени, то алгебраическая кривая считается n-ого порядка. Порядок алгебраической линии может быть определён также числом точек её пересечения с прямой (для плоских кри-вых, или плоскостью, если кривые пространственные). В число точек пересечения включаются точки с действии-тельными и мнимыми координатами.

Проецирование кривых

Свойства кривых, инвариантные относительно ортогонального проеци-рования.

8

При построении ортогональных проекций кривых необходимо знать те свойства кривых, которые сохраняются (являются инвариантными) при орто-гональном проецировании.

К таким свойствам относятся:

1. Касательные к кривой проецируются в касательные к её проекциям.

2. Несобственным точкам кривой соответствуют несобственные точки её проекции.

3. Порядок проекции алгебраической кривой равен порядку самой кри-вой.

4. Число узловых точек (точек, в которых кривая пересекает самоё себя) на проекции кривой равно числу узловых точек на самой кривой.

Для построения ортогональных проекций кривой необходимо построить проекции ряда точек, принадлежащей этой кривой и соединить между собой одноимённые проекции точек в той же последовательности, в какой они нахо-дились на оригинале.

Чтобы определить, какая (плоская или пространственная) кривая задана на

Касательная к кривой, это прямая, образованная полукасательными t₁ и t₂ к кривой в точке М.

Нормаль n кривой в данной точке М–перпендику-ляр к касательной к кривой в той же точке (рис.14).

Плоские кривые имеют простые точки, напри-мер, точка М (рис.14), двойные (узловые), напри-мер, точка А рис. 13 а, точки возврата, например, точки В и С (рис. 15 в, с).

9

Обводы

Решение ряда задач требует построение линии, проходящий через упоря-доченный массив точек. Все задачи такого типа сводятся к построению

аппроксимирующей функции, нахождение которой выполняется одним из трех методов аппроксимации:

1) интерполирование функции,

2) приближение функции,

3) конструирование обвода.

Мы рассмотрим только конструктивное решение задач аппроксимации. Для упрощения решения конструктивных задач аппроксимации в качестве ли-нии конструируют - обвод.

Обводом называется линия, составленная из дуг кривых выбранного вида, которые в стыковых точках имеют определенный порядок соприко-сновения.

Стыки дуг обвода, т. е. точки А, В, С, К называются узлами обвода (рис. 16).

Дуги кривых в точках стыков могут соп-рикасаться по определенному порядку глад-кости. Если дуги кривых пересекаются, то они имеют нулевой порядок гладкости. Если дуги кривых в точках стыков имеют общую касательную, то они имеют первый порядок гладкости, т. к. в этих точках они имеют равные первые производные, если кри-вые имеют равные вторые производные, то порядок гладкости у обвода будет второй и т.д.

Радиусографический способ построения обвода

Задача 1. Построить обвод первого порядка гла-дкости дугами окружностей точек А₁,А₂,...Аn(рис. 17).

Чтобы построить дугу окружности между то-чками А₁ А необходимо найти центр этой окруж-ности точку О₁, который будет лежать на пересе-чении срединных перпендикуляров к [A₁A₂] и [A₂A₃]. Радиусом½О₁А₁½ строим составляющую m₁- дугу окружности между точками А₁,А₂, А₃.

Вторая и последующие составляющие опреде-ляются двумя точками и касательной, например, для точек А₃, А₄ и касательной t₃, проведенной в точке А₃ перпендикулярно радиусу А₃ О₁. Центр О₂ определя-ется как пересечение срединного перпендикуляра то-чек А₃ и А₄ с перпендикуляром, проведенным из точки А₃ к касательной t₃ и т.д.

Существует много способов построения обводов, например, способ кри-

10

вых второго порядка, лекальными кривыми, сплайн - аппроксимация и т.д.

Конические сечения

Кривые второго порядка называются также коническими сечениями, так как получаются сечением конической поверхности вращения некоторой плос-костью. Как известно, кривые второго порядка бывают: неприводимые (окру-жность, эллипс, парабола и гипербола), приводимые или распавшиеся (две действительные или мнимые пересекающиеся прямые, две совпавшие прямые, две действительные или мнимые параллельные прямые). Если секущая плос-кость пересекает все образующие конической поверхности, то в сечении полу-чается эллипс. В частном случае, когда плоскость перпендикулярна оси кони-ческой поверхности, в сечении получается окружность. Если секущая плос-кость параллельна одной образующей конической поверхности, то получается парабола. Если секущая плоскость параллельна двум образующим конической поверхности, то - гипербола (рис. 18). Если секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, то кривая второго порядка распадается на две пересекающиеся прямые. Они будут дейст-вительными различными, если плоскость пере-секает телесный угол, определяемый конической поверхности, и будут мнимыми, если секущая плоскость находится вне телесного угла. И, на-конец, две указанные прямые будут параллель-ными, если их точка пересечения (вершина кони-ческой поверхности) будет несобственной, т.е. коническая поверхность выродится в цилинд-рическую.

Касательная плоскость к поверхности

Плоскость, касательная к поверхности в заданной на поверхности точ-ке, есть множество всех прямых - касательных, прове-денных к поверхности через эту точку.

Касательная прямая к поверхности в точке на ней, опре-деляется как касательная прямая к кривой, полученной в результате пересечения поверхности плоскостью инци-дентной прямой. Так как плоскость определяется двумя пересекающимися прямыми, то для построения касате-льной плоскости к поверхности в точке на ней, доста-точно построить два сечения поверхности в точке каса-ния и к сечениям построить касательные прямые, кото-рые определят искомую касательную плоскость (рис.19).

11

Так как касательная плоскость t однозначно определяется двумя, например, пересекающимися прямыми, то алгоритм ее построения состоит из следующих этапов:

- через данную точку А поверхности Ф проводятся две секущие плоскости (желательно частного положения), которые пересекают поверхность Ф по двум

кривым и b;

из точки А строятся две касательные прямые t_aи tbк полученным линиям и b; пересекающиеся касательные прямые t_aи tb определяют искомую касательную плоскость t.

Пример 1. Построить плоскость t, касающуюся сферы Ф (О, R) в точке АÎF (рис. 19).

По алгоритму на сфере Ф через точку А строим, на пример, горизонтальную плоскость уровня D₂=b₂=tb₂. На горизонтальной проекции строим tb₁ касательно к окружности b₁, т.е. перпендикулярно радиусу [O₁A₁]. Далее через точку А на Ф строим, например, фронтальную плоскость уровня S₁=a₁=t_a1 и на фронтальной плоскости проекций строим касательную перпендикулярно к радиусу [O₂A₂]. Искомая плоскость определяется как , где - горизонталь, а -фронталь.

Пример 2. Построить плоскость t, касающуюся поверхности конуса вра-щения Ф и проходящую через данную точку МÏF (рис. 20).

Так как искомая плоскость t касса-ется поверхности конуса Ф по образу-ющей, то она проходит через вершину S конуса, следовательно, и через образую-щую (SM). Строим точку `М^* пересече-ния прямой (SM) с плоскостью Г основания конуса Ф. Из точки М строим касательные t_a1 и t*_a1 к основаниюконуса и отмечаем точки касания А, В. Задача имеет два решения: через точку М проходят две плоскости t(SMÇ SA) и t^*(SMÇSB), касающиеся поверхности конуса Ф по образующим SA и SB.

Проекции прямого угла

Отметим ряд свойств проекций плоских углов:

1. Если стороны угла не параллельны плоскости проекций, то угол проецируется на эту плоскость с искажением.

12

2. Если одна сторона тупого, прямого, острого угла параллельна плоскости проекций, то проекция угла на эту плоскость проекций будет, тупой, прямой или острый угол.

3. Если стороны угла параллельны плоскости проекций, то на эту плос-

кость угол проецируется без искажения.

На рис. 21 показан угол образо-ванный произвольной прямой (АВ) с плоскостью Ф.

Пример 1. Определить натураль-ную величину угла a между двумя скре-щивающимися прямыми и (рис. 21).

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу, составленному пересекающимися прямыми, паралле-льными данным. Поэтому выбираем точку К, например, на прямой b и через нее проводим прямую c½½a.

Тогда решение задачи сводится к определению натуральной величины угла между пересекающимися прямыми bÇc = K. Так как прямые и b общего положения, то угол между ними проецируется на плоскости проекций в искажении.

Для ответа на поставленный вопрос задачи повернем пло- скость S(bÇc) вокруг, например, горизонтали и сделаем плоскость S горизонтальной плоскостью уровня.

Алгоритм решения задачи будет состоять из следующих операций:

1. В плоскости S строим горизонталь h(h₁,h₂);

2. Вращением точки К вокруг горизонтали h получаем искомый угол 1₁К₁2₁ - натуральную величину искомого угла.

Пример 2. Определить угол наклона a прямой b к плоскости Ф (рис. 23).

Простейшее решение этой задачи состоит из следующих операций

1. 1) Строим точку пересечения В=bÇF;

2) Из произвольной точки КÎb опускаем перпендикуляр с на плоскость Ф;

3) Строим точку С = сÇФ

13

Любым известным способом строим натуральную величину угла a= ÐKBС.

В построенном треугольнике ВКС ÐBKС является дополнительным до 90° к искомому углу a. Это положим в основу более рационального алгоритма решения сформулированной задачи, который включает в себя следующие операции:

1. Из произвольной точки КÎb опускаем перпендикуляр на плоскость Ф;

2. Способом вращения вокруг линии уровня, например, горизонтали строим натуральную величину угла ÐBKС, который будет дополнительным до 90° к искомому углу a=KBС. (см. пример 1).

Пример 3. Определить величину двугранного угла a, образованного плоскостями Ф, D (рис. 23).

Как известно, двугранный угол измеряется соответствующим ему линей-ным углом, получающимся в сечении двугранного угла плоскостью Г, пер-пендикулярной его ребру l. Отсюда следует алгоритм решения данной задачи:

1. Строим прямую l пересечения плоскостей D, F; через произвольную точ-

ку LÎl проводим плоскость Г, перпендикулярную прямой l;

2. Строим прямые d и g пересечения данных плоскостей с плоскостью Г.

3.Любым известным способом определяем натуральную величину угла a,со-

ставленного пересекающимися прямыми d, g.

Если в плоскости Г взять произвольную точку К и из нее опустить перпендикуляры на пря-мые d и g, то угол между прямыми с и b равен 180°-a. Отсюда следует рациональный алго-ритм решения задачи:

1) Из произвольной точки К пространства стро-

им перпендикуляры b и с к данным плоскос-тям Ф и D;

2) Способом вращения вокруг линии уро-вня определяем натуральную величину угла

между прямыми с и b; искомый угол a будет дополнительным к найденному.

Выводы:

1. Применение цветных рисунков при решении метрических и позиционных задач позволяет углубить восприятие и понимание их, способствуя прочности усвоения изучаемого материала.

2. Широкое применение методов решения позиционных и метрических задач используются при решении задач на пересечение линии и поверхности, поверхностей, построении разверток поверхностей и др..

Литературные источники:

1. Фролов С.А. Начертательная геометрия. М.– Машиностроение. 1990.-247 с.

2. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии. М.: Машино-строение, 1998. 157 с.

3. Вертинская Н.Д. Лекции по начертательной геометрии. Иркутск, Изд-во

ИрГТУ. 2008. 67 с.

Библиографическая ссылка

Вертинская Нелли Дмитриевна-один автор ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ В НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЦВЕТНЫХ РИСУНКОВ // Научный электронный архив.
URL: http://econf.rae.ru/article/5092 (дата обращения: 23.12.2024).

Получить сертификат

Форма заказа сертификата

Ф.И.О.
Почтовый адрес
Телефон
Авторы
Название работы
E-mail